CBSE दहावी गणित भाग १ - Areas Related to Circles

२०१९ सालात CBSE अभ्यासक्रमाच्या दहावी गणित ह्या विषयावर काही पोस्ट्स लिहिण्याचा मानस आहे. ह्या श्रुंखलेतील ही पहिली पोस्ट. मराठी भाषेत सर्व संज्ञा मांडण्याच्या काही मर्यादेमुळे ह्या पोस्ट्समध्ये इंग्लिश भाषेचा सढळ वापर केला जाईल ह्याची वाचकांनी नोंद घ्यावी. 

दहावी CBSE गणित विषयातील धडे खालीलप्रमाणे 

1. Real Numbers
2. Polynomials
3. Pair of Linear Equations in Two Variables
4. Quadratic Equations
5. Arithmetic Progression
6. Triangles
7. Coordinate Geometry
8. Introduction to Trigonometry
9. Some applications of Trigonometry
10. Circles
11. Constructions
12. Areas Related to Circles 
13. Surface areas and Voulmes
14. Statistics 
15. Probability

इथं मी कोणत्याही एका विशिष्ट क्रमाने वरील धडे समाविष्ट करणार नाही. पुढील आठ महिन्यात सर्व धडे समाविष्ट करण्याचा यत्न राहील. ह्यातील काही पोस्ट प्रसिद्ध झाल्यानंतर सुद्धा त्यात सुधारणा केल्या जातील. प्रत्येक धड्यातील महत्वाची सूत्रे आणि त्यावर टिपण्णी असे ह्या पोस्टचे स्वरुप राहील. 

आज आपण Areas Related to Circles अर्थात वर्तुळांशी संबंधित क्षेत्रफळे ह्या धड्याकडे वळूयात. 

वर्तुळाशी संबंधित मुख्य दोन सुत्रे आहेत. 

क्षेत्रफळ = π * R * R ( π * त्रिज्या * त्रिज्या)
परीघ = २ * π * R    

जर तुम्हांला R ची किंमत ७ च्या पाढ्यात दिली गेली असेल तर गणित सोडवताना π ची किंमत २२ / ७ ही घ्यावी. अन्यथा π ची किंमत ३. १४ इतकी घेणे इष्ट राहते. 

१) पहिल्या प्रकारच्या गणितांत दोन वेगवेगळ्या वर्तुळांच्या त्रिज्या दिल्या जातात आणि अशा वर्तुळाची त्रिज्या काढण्यास सांगितलं जातं की ज्याचा परीघ अथवा क्षेत्रफळ ह्या दोन वर्तुळांच्या परीघ अथवा क्षेत्रफळाच्या बेरजेइतका असतो. 

परीघ१ = २ * π * r१
परीघ२ = २ * π * r२

हव्या असलेल्या वर्तुळाचा परीघ = २ * π * r१ + २ * π * r२
               २ * π *R                 = २ * π * (r१ +  r२)
म्हणुन R = (r१ +  r२)

त्याचप्रमाणे क्षेत्रफळाच्या गणितात 
R*R  = r१ * r१ +  r२ * r२

इथं आपणास लक्षात घ्यायला हवं की ह्या प्रकारच्या गणितात तुम्हांला गणितात दिलेल्या वर्तुळांचा परीघ अथवा क्षेत्रफळ काढण्याची गरज नाही. त्यांच्या सुत्रात असणाऱ्या २ *  π अथवा π  हे समीकरणाच्या दोन्ही बाजुला असल्याने ते बाद होतात आणि मग उरतं ते फक्त त्रिज्यांची अथवा त्यांच्या वर्गांची बेरीज करणे. ही बाब आपणांस पेपरातील वेळेची बचत करण्यास मदत करु शकतो. 

२) गणिताच्या दुसऱ्या प्रकारात एककेंद्रीय अनेक वर्तुळे दिली असतात. ह्यातील प्रत्येक भागाचं क्षेत्रफळ काढण्यास सांगितलं जातं. 

वरील आकृतीत तुम्हांला पांढऱ्या आणि निळ्या रंगाने व्यापलेल्या वर्तुळाकार भागांचे क्षेत्रफळ काढण्यास सांगण्यात येईल. अर्थात पांढऱ्या भागाचे क्षेत्रफळ तुम्ही थेट सुत्राचा वापर करुन काढु शकता. निळ्या भागाचे क्षेत्रफळ काढण्यासाठी निळ्या वर्तुळाच्या त्रिज्येचा वापर करुन संपुर्ण वर्तुळाचे क्षेत्रफळ काढुन त्यातुन पांढऱ्या वर्तुळाचे क्षेत्रफळ वजा करणे अपेक्षित आहे. ह्या एककेंद्रीय वर्तुळांची संख्या वाढत गेल्यास विद्यार्थ्यांची एकाग्रता हा महत्वाचा घटक ठरतो. इथं प्रत्यक्ष क्षेत्रफळ काढणे किंवा π हा सामायिक घटक ठेवून R1^2 - R2^2 ही आकडेमोड करणे हे पर्याय विद्यार्थ्यांसमोर असतात. 

३) तिसऱ्या प्रकारात एखाद्या वाहनाच्या चाकाचा व्यास / त्रिज्या देऊन एका विशिष्ट अंतरासाठी त्या चाकाचे किती फेरे होतील हे गणित दिले जाते. ह्यात वाहनाचे चाक एका फेऱ्यात त्याच्या परिघाइतकं अंतर पार करते हा महत्वाचा मुद्दा लक्षात घ्यावा लागतो. 

वरील सर्व प्रकार विद्यार्थ्यांनी नववीपर्यंत सोडविले असतात. आता आपण वर्तुळाचे वर्तुळखंड (Sector) आणि सेगमेंट (Segment) ह्यांच्या क्षेत्रफळांकडे वळूयात. 

वरील आकृतीत आपण वर्तुळखंड (Sector) आणि सेगमेंट (Segment) ह्या आकृती पाहु शकतो. ह्यांचे त्यांनी व्यापलेल्या क्षेत्रफळानुसार major आणि minor ह्या प्रकारांत वर्गीकरण केलं जातं. 

वर्तुळखंडाचं (Sector) क्षेत्रफळ 

वर्तुळखंड हा संपुर्ण वर्तुळाचा काही टक्के भाग असल्यानं संपुर्ण वर्तुळाच्या क्षेत्रफळाचा काही टक्के भाग वर्तुळखंड व्यापतो.  

वर्तुळखंडाची काही विशिष्ट उदाहरणं म्हणजे अर्धवर्तुळ (Semicircle), Quadrant वगैरे ! ह्यात संपुर्ण वर्तुळाच्या क्षेत्रफळाला (π * r * r) आपणास १/२, १/४ ने गुणावं लागतं. 

वर्तुळखंड केंद्राशी किती अंशांचा कोन करतो ह्यावरुन सुद्धा आपण त्याचे क्षेत्रफळ काढु शकतो. समजा वर्तुळखंडानं केंद्राशी ६० अंशाचा कोन केला असेल तर तो एकुण वर्तुळाच्या कोनापैकी (३६० अंश) व्यापुन टाकत असल्यानं हा वर्तुळखंड संपुर्ण वर्तुळाच्या क्षेत्रफळाच्या १/६ पट क्षेत्रफळ व्यापतो असे आपणास म्हणता येईल. 

Segment क्षेत्रफळ 

Segment ला योग्य मराठी शब्द न सापडल्यामुळं त्याला Segment असेच संबोधिण्यात येईल. Segment चे क्षेत्रफळ काढताना त्याच्याशी संलग्न असलेल्या वर्तुळखंडाचे आणि संबंधित त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ काढावं लागतं. 

आकृती १.३ मध्ये दर्शविल्याप्रमाणे वर्तुळखंडाच्या क्षेत्रफळातुन त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ वजा करावं लागतं. 

त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ काढताना Trigonometry मधील ३०, ६० आणि ९० अंशाचे Sin, Cos आणि Tan माहिती असणे आवश्यक असते. अशा प्रकारे आपल्याला ह्या धड्याची Trigonometry ह्या धड्यावर अवलंबिता आढळुन येते. 

ह्यानंतर वर्तुळखंड आणि segment ह्यांच्या व्यावहारिक उपयोगातील गणितांकडे आपण वळतो. 

१) एखादा घोडा एका आयताकृती मैदानाच्या एका कोपऱ्यात दोरीला बांधला असता तो त्या मैदानातील किती क्षेत्रफळातील गवत खाऊ शकतो?

२) एका छत्रीच्या काड्यांची त्रिज्या दिली असता उघडलेल्या छत्रीतील दोन काड्यांमधील व्याप्त प्रदेशाचे क्षेत्रफळ किती? 

ह्यानंतरच्या विभागात चौरसात अर्धवर्तुळ, दोन एककेंद्रीय वर्तुळांना व्यापुन टाकणारा वर्तुळखंड, वर्तुळखंडापासुन पुढे व्याप्ती असलेला समभुज त्रिकोण ही सर्व मंडळी शब्दरूपी गणितांतून आपणासमोर येतात. 

ह्या सर्व गणितांमध्ये  शाब्दिक स्वरुपात दिलेल्या गणिताला आकृतीरूपात योग्यप्रकारे कागदावर उतरवता येणं हा एकुण उत्तराच्या दिशेनं एक महत्त्वाचा टप्पा ठरतो. केवळ सराव केलेली गणिते अंतिम परीक्षेत सोडविण्याची क्षमता विद्यार्थ्याकडे असुन चालत नाही. वर्षभरात कधीही न सोडविलेलं गणित अंतिम परीक्षेत आलं तरी बावचळुन न जाता त्याला आकृतीस्वरूपात विद्यार्थ्यांना उतरवता यायला हवं!

१५ धड्यांतील दुसरा धडा घेऊन तुमच्यासमोर लवकर येण्याची आशा बाळगत तुमचा निरोप घेतो !