Quadratic Equations - वर्गसमीकरणे

वर्गसमीकरणे  ax^2+bx+c = 0 ह्या मुलभूत स्वरूपात मांडली जातात ह्यात a चे मुल्य शुन्य नसणं आवश्यक आहे. 

वर्गसमीकरणांची उकल करण्याच्या खालील पद्धती आहेत. 

1> By Factorization - घटकीकरण 

ax^2+bx+c = 0 इथं bx चे अशा दोन घटकांमध्ये विघटन करावं  की त्या दोन घटकांचा गुणाकार हा ax^2 आणि c च्या गुणाकारांइतका असेल.  

आपण थेट एका उदाहरणाकडं वळुयात 

दोन संख्या अशा शोधा ज्यांची बेरीज २७ आणि गुणाकार १८२ असेल. 

पहिली संख्या  x मानुयात 

म्हणुन दुसरी संख्या  = 27- x

दोन्ही संख्यांचा गुणाकार १८२ आहे. 

म्हणुन x(27-x) = 182

27x - x^2 = 182

x ^2 - 27x + 182 = 0

इथं -27x चे अशा प्रकारे विघटन करायचं आहे की त्या दोन घटकांचा गुणाकार 182 x^2 असायला हवा. 

पहिला विचार - इथं 182 = 2 * 91 आणि 91 ही संख्या १३ च्या पाढ्यात येते ही गोष्ट ध्यानात येणं ही ह्या समीकरणाच्या उकलीमधील सर्वात महत्त्वाची बाब आहे. 

दुसरा विचार असा की २७ चे विघटन अशा प्रकारे करावं की त्या दोन संख्यांच्या गुणाकाराच्या  एकक संख्येत २ असावा. आता गुणाकाराच्या एकक संख्येत २ असण्यासाठी खालील शक्यता उद्भवतात 

पहिल्या संख्येचा एकक      दुसऱ्या संख्येचा एकक 

         १                                     २

         ३                                     ४

         २                                     ६

         ४                                     ८

परंतु वरील शक्यतेतील ज्यांच्या बेरजेच्या एकक स्थानात ७ येईल अशी ३ आणि ४ हीच शक्यता आहे. म्हणुन आपण २७ चे विघटन ३, २४ किंवा १३,१४ असे करु शकतो. आपल्या असे लक्षात येईल की ह्यातील १३,१४ ह्या दोन संख्यांचा गुणाकार १८२ आहे. म्हणुन उत्तर १३, १४. 

2> By completing the square

ह्या पद्धतीत ax^2+bx+c = 0 ह्या समीकरणास x^2+(b/ a) x+ (c/ a) = 0 ह्या रुपात आणलं जातं. आता x^2+(b/ a) x ह्या दोन घटकांच्या आधारे असा constant घटक शोधला जातो की आपणास पुर्ण वर्ग मिळेल. 

आपण थेट एका उदाहरणाकडं वळुयात 

2x^2 - 7x + 3 = 0

Dividing by 2

x^2 - 7/2x + 3/2 =0

आता मधल्या पदाकडे पाहुन आपल्या लक्षात येईल की 7/4 हे तिसरं पद घेतल्यास आपणास पुर्ण वर्ग मिळेल. 7/4 पद वर्गाच्या आत जात असल्यानं आपणास 49/16 एकदा अधिक आणि नंतर वजा करावा लागेल. 

x^2 - 7/2x + 49/16 - 49/16 + 3/2 =0

(x^2 - 7/2x + 49/16) - 49/16 + 3/2 =0

(x - 7/4)^2 - (49/16 -3/2) = 0

(x - 7/4)^2 - ((49-24)/16) = 0

(x - 7/4)^2 - (25/16) = 0

(x - 7/4)^2 - (5/4)^2 = 0 

(x - 7/4)^2 = (5/4)^2 

x - 7/4 = +-(5/4)

x - 7/4 = +5/4  or x - 7/4 = -5/4 

x = 3 or 1/2

3> Using Standard formula

(- b +-sqrt (b^2-4ac))/2a where b^2 - 4ac >= 0 

आपण इथं वरील उदाहरण परत पाहुयात. 

2x^2 - 7x + 3 = 0

इथं a =2, b = -7, c=3

b^2-4ac = 49 - 4*2*3 = 25

sqrt (b^2-4ac) = 5

(- b +-sqrt (b^2-4ac))/2a 

=  (- (-7) +- 5)/2*2
= (7 + 5)/4 or (7-5)/4
= 3 or 1/2

आता शेवटी एक शाब्दिक उदाहरण पाहुयात 

एक आगगाडी ३६० किमी अंतर एका कायम वेगानं पार पाडते. जर आगगाडीचा प्रतिताशी वेग ५ किमी जास्त असता तर हेच अंतर तिनं एक तास कमी वेळेत पार केलं असतं. आगगाडीचा वेग किती असेल?

शाब्दिक उदाहरणात तुम्हांला योग्य सूत्राचा वापर करता येणं आवश्यक आहे. 

ह्या गणितातील सूत्र आहे 

वेळ = अंतर / वेग 

आगगाडीचा खरा वेग u km/hr मानुयात 

T = 360 /u    - Equation 1

Also
T-1 = 360 /(u+5)    - Equation 2

Equation 1 - 2

1 = 360/u - 360/(u+5)

1 = 360((u+5)-u)/(u*(u+5))

1 = 360*5/(u*(u+5))

u^2+5u-1800 =0

इथं ज्याला १८०० = ४५ *४० दिसलं तो जिंकला 

u^2+45u-40u-1800 =0
u(u+45) - 40(u+45) = 0
(u+45) (u-40) = 0
u = 40 किमी / तास 

ही अशी गणिते ज्यात आपलं उत्तर मुळ गणितात टाकुन त्याची अचुकता पाहणं सहज शक्य होतं मला आवडतात