आज आपण एकचल रेषीय समीकरणे अर्थात Linear Equations in One variable ह्या प्रकाराची प्रात्यक्षिक / व्यावहारिक उदाहरणं पाहुयात.
एकचल रेषीय समीकरणांची व्याख्या
जी समीकरणे ax+b = 0 ह्या स्वरुपात मांडता येतात त्यांना एकचल रेषीय समीकरणे असे म्हणता येईल. ह्यात a आणि b हे constant आणि x हा चल अर्थात variable आहे.
एकचल रेषीय समीकरणांच्या व्यावहारिक उदाहरणांचं खालील मुख्य प्रकारात वर्गीकरण करता येईल. अजुनही काही प्रकार असतील पण हे वरवर अभ्यास केला असता आढळलेले मुख्य प्रकार .
आधी सर्व प्रश्नांकडे एकत्रित स्वरुपात पाहुयात !
१) एका नैसर्गिक संख्येचा ४/५ भाग हा त्या संख्येच्या ३/४ भागापेक्षा ३ ने मोठा आहे. तर ती संख्या कोणती?
२) एका दोन आकडी संख्येच्या दोन्ही आकड्यांची बेरीज ९ आहे. त्या आकड्यांच्या स्थानांची अदलाबदल केली असता मिळणारी नवीन संख्या मुळ संख्येपेक्षा ४५ ने मोठी आहे? तर नवीन संख्या कोणती?
३) अजय आणि विजय ह्यांच्या वयाचे गुणोत्तर सध्या ७:५ असे आहे. १० वर्षांनंतर हेच गुणोत्तर ९:७ इतके होईल तर त्यांची सध्याची वये किती?
४) आनंदकडे २००० रुपये १० आणि ५ रुपयांच्या नाण्यांच्या स्वरुपात आहेत. १० रुपयांच्या नाण्यांची संख्या ५ रुपयाच्या नाण्यांपेक्षा ५० ने जास्त असल्यास आनंदकडे ५ रुपयाची किती नाणी आहेत?
५) एका स्पर्धात्मक परीक्षेत एकूण २०० प्रश्न आहेत. परीक्षार्थीला प्रत्येक अचुक उत्तरास ४ गुण मिळतात आणि प्रत्येक चुकीच्या / न दिलेल्या उत्तरामागे त्याचा एक गुण वजा होतो. नंदनला एकंदरीत ५५० गुण मिळाले. तर त्यानं अचुक उत्तर दिलेल्या प्रश्नांची संख्या किती?
आता त्यांची उत्तरे.
१) एका नैसर्गिक संख्येचा ४/५ भाग हा त्या संख्येच्या ३/४ भागापेक्षा ३ ने मोठा आहे. तर ती संख्या कोणती?
ती नैसर्गिक संख्या x मानुयात.
4x/5 - 3x/4 = 3
भाजकांचा लसावि २० आहे. म्हणून दोन्ही अपूर्णांकाना भाजक २० असलेल्या स्वरूपात परिवर्तित करुयात
4*(4x)/4*5 - 5*(3x)/5*4 = 3
16x / 20 - 15x/20 = 3
(16x-15x)/20 = 3
x / 20 = 3
x = 60
वरील उदाहरण एकंदरीत सोपं आहे. पडताळणी करायची असल्यास ६० चा ३/४ भाग ४५ आणि ४/५ भाग ४८. आणि फरक ३.
२) एका दोन आकडी संख्येच्या दोन्ही आकड्यांची बेरीज ९ आहे. त्या आकड्यांच्या स्थानांची अदलाबदल केली असता मिळणारी नवीन संख्या मुळ संख्येपेक्षा ४५ ने मोठी आहे? तर नवीन संख्या कोणती?
ह्या उदाहरणात महत्त्वाचं तत्त्व
संख्या = एकक स्थानचा आकडा + १० * दशम स्थानचा आकडा
मुळ संख्येत x एकक स्थानी मानुयात.
म्हणुन दशम स्थानाचा अंक 9-x
संख्या = x + 10 * (9-x) = x + 90 - 10 x = 90 - 9x
आकड्यांची अदलाबदल केल्यानंतर
एकक स्थान = 9 -x
दशम स्थान = x
नवीन संख्या = 10x + 9 - x = 9x + 9
नवीन संख्या - मूळ संख्या = 45
9x + 9 - (90-9x) = 45
18 x - 81 = 45
18 x = 126
x = 7
म्हणुन नवीन संख्या ७२.
इथं आपल्या ध्यानात येईल की १८ - ८१, २७-७२, ३६-६३, ४५-५४ अशा आकड्यांची बेरीज ९ असलेल्या संख्यांच्या जोड्या आहेत. आणि त्यातील फरक अनुक्रमे ६३, ४५, २७ आणि ९ इतका आहे.
३) अजय आणि विजय ह्यांच्या वयाचे गुणोत्तर सध्या ७:५ असे आहे. १० वर्षांनंतर हेच गुणोत्तर ९:७ इतके होईल तर त्यांची सध्याची वये किती?
इथं तक्ता आखा
ह्या उदाहरणात महत्त्वाचं तत्त्व
१० वर्षांनंतर मिळणाऱ्या गुणोत्तराच्या दोन पदांना वापरुन समीकरण बनवा
(7x+10) / (5x+10) = 9/7
(7x+10)* 7 = 9 *(5x+10)
x = 5
४) आनंदकडे २००० रुपये १० आणि ५ रुपयांच्या नाण्यांच्या स्वरुपात आहेत. १० रुपयांच्या नाण्यांची संख्या ५ रुपयाच्या नाण्यांपेक्षा ५० ने जास्त असल्यास आनंदकडे ५ रुपयाची किती नाणी आहेत?
इथं नाण्यांची संख्या आणि किंमत ह्यांचा तक्ता आखणे महत्वाचं ठरतं.
इथं नाण्यांच्या किमतीची जी दोन पदे मिळतात ती वापरुन समीकरण बनवावे
10x + 500 + 5x = 2000
15 x = 1500
x = 100
म्हणुन ५ रुपयांची १०० नाणी (५०० रुपये) आणि १० रुपयांची १५० नाणी (१५०० रुपये).
५) एका स्पर्धात्मक परीक्षेत एकूण २०० प्रश्न आहेत. परीक्षार्थीला प्रत्येक अचुक उत्तरास ४ गुण मिळतात आणि प्रत्येक चुकीच्या / न दिलेल्या उत्तरामागे त्याचा एक गुण वजा होतो. नंदनला एकंदरीत ५५० गुण मिळाले. तर त्यानं अचुक उत्तर दिलेल्या प्रश्नांची संख्या किती?
इथं खालील तक्ता आखा
एकचल रेषीय समीकरणांची व्याख्या
जी समीकरणे ax+b = 0 ह्या स्वरुपात मांडता येतात त्यांना एकचल रेषीय समीकरणे असे म्हणता येईल. ह्यात a आणि b हे constant आणि x हा चल अर्थात variable आहे.
एकचल रेषीय समीकरणांच्या व्यावहारिक उदाहरणांचं खालील मुख्य प्रकारात वर्गीकरण करता येईल. अजुनही काही प्रकार असतील पण हे वरवर अभ्यास केला असता आढळलेले मुख्य प्रकार .
आधी सर्व प्रश्नांकडे एकत्रित स्वरुपात पाहुयात !
१) एका नैसर्गिक संख्येचा ४/५ भाग हा त्या संख्येच्या ३/४ भागापेक्षा ३ ने मोठा आहे. तर ती संख्या कोणती?
२) एका दोन आकडी संख्येच्या दोन्ही आकड्यांची बेरीज ९ आहे. त्या आकड्यांच्या स्थानांची अदलाबदल केली असता मिळणारी नवीन संख्या मुळ संख्येपेक्षा ४५ ने मोठी आहे? तर नवीन संख्या कोणती?
३) अजय आणि विजय ह्यांच्या वयाचे गुणोत्तर सध्या ७:५ असे आहे. १० वर्षांनंतर हेच गुणोत्तर ९:७ इतके होईल तर त्यांची सध्याची वये किती?
४) आनंदकडे २००० रुपये १० आणि ५ रुपयांच्या नाण्यांच्या स्वरुपात आहेत. १० रुपयांच्या नाण्यांची संख्या ५ रुपयाच्या नाण्यांपेक्षा ५० ने जास्त असल्यास आनंदकडे ५ रुपयाची किती नाणी आहेत?
५) एका स्पर्धात्मक परीक्षेत एकूण २०० प्रश्न आहेत. परीक्षार्थीला प्रत्येक अचुक उत्तरास ४ गुण मिळतात आणि प्रत्येक चुकीच्या / न दिलेल्या उत्तरामागे त्याचा एक गुण वजा होतो. नंदनला एकंदरीत ५५० गुण मिळाले. तर त्यानं अचुक उत्तर दिलेल्या प्रश्नांची संख्या किती?
आता त्यांची उत्तरे.
१) एका नैसर्गिक संख्येचा ४/५ भाग हा त्या संख्येच्या ३/४ भागापेक्षा ३ ने मोठा आहे. तर ती संख्या कोणती?
ती नैसर्गिक संख्या x मानुयात.
4x/5 - 3x/4 = 3
भाजकांचा लसावि २० आहे. म्हणून दोन्ही अपूर्णांकाना भाजक २० असलेल्या स्वरूपात परिवर्तित करुयात
4*(4x)/4*5 - 5*(3x)/5*4 = 3
16x / 20 - 15x/20 = 3
(16x-15x)/20 = 3
x / 20 = 3
x = 60
वरील उदाहरण एकंदरीत सोपं आहे. पडताळणी करायची असल्यास ६० चा ३/४ भाग ४५ आणि ४/५ भाग ४८. आणि फरक ३.
२) एका दोन आकडी संख्येच्या दोन्ही आकड्यांची बेरीज ९ आहे. त्या आकड्यांच्या स्थानांची अदलाबदल केली असता मिळणारी नवीन संख्या मुळ संख्येपेक्षा ४५ ने मोठी आहे? तर नवीन संख्या कोणती?
ह्या उदाहरणात महत्त्वाचं तत्त्व
संख्या = एकक स्थानचा आकडा + १० * दशम स्थानचा आकडा
मुळ संख्येत x एकक स्थानी मानुयात.
म्हणुन दशम स्थानाचा अंक 9-x
संख्या = x + 10 * (9-x) = x + 90 - 10 x = 90 - 9x
आकड्यांची अदलाबदल केल्यानंतर
एकक स्थान = 9 -x
दशम स्थान = x
नवीन संख्या = 10x + 9 - x = 9x + 9
नवीन संख्या - मूळ संख्या = 45
9x + 9 - (90-9x) = 45
18 x - 81 = 45
18 x = 126
x = 7
म्हणुन नवीन संख्या ७२.
इथं आपल्या ध्यानात येईल की १८ - ८१, २७-७२, ३६-६३, ४५-५४ अशा आकड्यांची बेरीज ९ असलेल्या संख्यांच्या जोड्या आहेत. आणि त्यातील फरक अनुक्रमे ६३, ४५, २७ आणि ९ इतका आहे.
३) अजय आणि विजय ह्यांच्या वयाचे गुणोत्तर सध्या ७:५ असे आहे. १० वर्षांनंतर हेच गुणोत्तर ९:७ इतके होईल तर त्यांची सध्याची वये किती?
इथं तक्ता आखा
|
|
सध्या
|
१० वर्षांनंतर
|
|
अजयचे वय
|
7x
|
7x + 10
|
|
विजयचे वय
|
5x
|
5x + 10
|
|
गुणोत्तर
|
7:5
|
9:7
|
ह्या उदाहरणात महत्त्वाचं तत्त्व
१० वर्षांनंतर मिळणाऱ्या गुणोत्तराच्या दोन पदांना वापरुन समीकरण बनवा
(7x+10) / (5x+10) = 9/7
(7x+10)* 7 = 9 *(5x+10)
49x+ 70 = 45x + 90
4x = 20x = 5
सध्या
|
१० वर्षांनंतर
| |
अजयचे वय
|
35
|
45
|
विजयचे वय
|
25
|
35
|
गुणोत्तर
|
7:5
|
9:7
|
४) आनंदकडे २००० रुपये १० आणि ५ रुपयांच्या नाण्यांच्या स्वरुपात आहेत. १० रुपयांच्या नाण्यांची संख्या ५ रुपयाच्या नाण्यांपेक्षा ५० ने जास्त असल्यास आनंदकडे ५ रुपयाची किती नाणी आहेत?
इथं नाण्यांची संख्या आणि किंमत ह्यांचा तक्ता आखणे महत्वाचं ठरतं.
|
|
नाण्यांची
संख्या
|
नाण्यांची
किमंत
|
||
|
१० रुपये
|
X + 50
|
10 x + 500
|
||
|
x
|
5 x
|
||
|
2000
|
इथं नाण्यांच्या किमतीची जी दोन पदे मिळतात ती वापरुन समीकरण बनवावे
10x + 500 + 5x = 2000
15 x = 1500
x = 100
म्हणुन ५ रुपयांची १०० नाणी (५०० रुपये) आणि १० रुपयांची १५० नाणी (१५०० रुपये).
५) एका स्पर्धात्मक परीक्षेत एकूण २०० प्रश्न आहेत. परीक्षार्थीला प्रत्येक अचुक उत्तरास ४ गुण मिळतात आणि प्रत्येक चुकीच्या / न दिलेल्या उत्तरामागे त्याचा एक गुण वजा होतो. नंदनला एकंदरीत ५५० गुण मिळाले. तर त्यानं अचुक उत्तर दिलेल्या प्रश्नांची संख्या किती?
इथं खालील तक्ता आखा
|
|
संख्या
|
गुण
|
||
|
बरोबर उत्तरं
|
X
|
4x
|
||
|
200 –x
|
-1*(200-x)
|
||
|
550
|
एकुण गुणांची जी दोन पदे मिळतात त्यांच्या मदतीनं एक समीकरण बनवा
4x - 200 + x = 550
5x = 750
x = 150
अचूक उत्तरं = १५० (गुण ६००)
चूक / न दिलेली उत्तरं = २०० - x = ५० (वजा झालेले गुण ५० )
अंतिम गुण = ६०० - ५० = ५५०
सारांश - प्रत्येक प्रकारात एक महत्त्वाचं तत्त्व आहे. ते ओळखुन एकदा का तुम्हांला समीकरण मांडता आलं की उत्तराकडं तुमची आगेकुच सुरु झाली म्हणुन समजा .
4x - 200 + x = 550
5x = 750
x = 150
अचूक उत्तरं = १५० (गुण ६००)
चूक / न दिलेली उत्तरं = २०० - x = ५० (वजा झालेले गुण ५० )
अंतिम गुण = ६०० - ५० = ५५०
सारांश - प्रत्येक प्रकारात एक महत्त्वाचं तत्त्व आहे. ते ओळखुन एकदा का तुम्हांला समीकरण मांडता आलं की उत्तराकडं तुमची आगेकुच सुरु झाली म्हणुन समजा .
कोणत्याही टिप्पण्‍या नाहीत:
टिप्पणी पोस्ट करा