Sunday, August 13, 2017

एकचल रेषीय समीकरणे

आज आपण एकचल रेषीय समीकरणे अर्थात Linear Equations in One variable ह्या प्रकाराची प्रात्यक्षिक / व्यावहारिक उदाहरणं पाहुयात. 

एकचल रेषीय समीकरणांची व्याख्या 
जी समीकरणे ax+b = 0  ह्या स्वरुपात मांडता येतात त्यांना एकचल रेषीय समीकरणे असे म्हणता येईल.  ह्यात a आणि b हे constant आणि x हा चल अर्थात variable आहे. 

एकचल रेषीय समीकरणांच्या व्यावहारिक उदाहरणांचं खालील मुख्य प्रकारात वर्गीकरण करता येईल. अजुनही काही प्रकार असतील पण हे वरवर अभ्यास केला असता आढळलेले मुख्य प्रकार  . 

आधी सर्व प्रश्नांकडे एकत्रित स्वरुपात पाहुयात !

१) एका नैसर्गिक संख्येचा ४/५ भाग हा त्या संख्येच्या ३/४ भागापेक्षा ३ ने मोठा आहे. तर ती संख्या कोणती?

२) एका दोन आकडी संख्येच्या दोन्ही आकड्यांची बेरीज ९ आहे. त्या आकड्यांच्या स्थानांची अदलाबदल केली असता मिळणारी नवीन संख्या मुळ संख्येपेक्षा ४५ ने मोठी आहे? तर नवीन संख्या कोणती?

३) अजय आणि विजय ह्यांच्या वयाचे गुणोत्तर सध्या ७:५ असे आहे. १० वर्षांनंतर हेच गुणोत्तर ९:७ इतके होईल तर त्यांची सध्याची वये किती?

४) आनंदकडे २००० रुपये १० आणि ५ रुपयांच्या नाण्यांच्या स्वरुपात आहेत. १० रुपयांच्या नाण्यांची संख्या ५ रुपयाच्या नाण्यांपेक्षा ५० ने जास्त असल्यास आनंदकडे ५ रुपयाची किती नाणी आहेत? 

५) एका स्पर्धात्मक परीक्षेत एकूण २०० प्रश्न आहेत. परीक्षार्थीला प्रत्येक अचुक उत्तरास ४ गुण मिळतात आणि प्रत्येक चुकीच्या / न दिलेल्या उत्तरामागे त्याचा एक गुण वजा होतो.  नंदनला एकंदरीत ५५० गुण मिळाले. तर त्यानं अचुक उत्तर दिलेल्या प्रश्नांची संख्या किती? 

आता त्यांची उत्तरे.  

१) एका नैसर्गिक संख्येचा ४/५ भाग हा त्या संख्येच्या ३/४ भागापेक्षा ३ ने मोठा आहे. तर ती संख्या कोणती?

ती नैसर्गिक संख्या x मानुयात. 
4x/5 - 3x/4 = 3

भाजकांचा लसावि २० आहे. म्हणून दोन्ही अपूर्णांकाना भाजक २० असलेल्या स्वरूपात परिवर्तित करुयात 

4*(4x)/4*5 - 5*(3x)/5*4 = 3

16x / 20 - 15x/20 = 3

(16x-15x)/20 = 3

x / 20 = 3

x = 60

वरील उदाहरण एकंदरीत सोपं आहे. पडताळणी करायची असल्यास ६० चा ३/४ भाग ४५ आणि ४/५ भाग ४८. आणि फरक ३. 
२) एका दोन आकडी संख्येच्या दोन्ही आकड्यांची बेरीज ९ आहे. त्या आकड्यांच्या स्थानांची अदलाबदल केली असता मिळणारी नवीन संख्या मुळ संख्येपेक्षा ४५ ने मोठी आहे? तर नवीन संख्या कोणती?

ह्या उदाहरणात महत्त्वाचं तत्त्व 
संख्या = एकक स्थानचा आकडा + १० * दशम स्थानचा आकडा  

मुळ संख्येत x एकक स्थानी मानुयात. 
म्हणुन दशम स्थानाचा अंक 9-x
संख्या = x + 10 * (9-x) = x + 90 - 10 x = 90 - 9x

आकड्यांची अदलाबदल केल्यानंतर 
एकक स्थान = 9 -x
दशम स्थान = x
नवीन संख्या =  10x + 9 - x = 9x + 9

नवीन संख्या - मूळ संख्या = 45
9x + 9 - (90-9x) = 45
18 x  - 81 = 45
18 x = 126
x = 7 

म्हणुन नवीन संख्या ७२.

इथं आपल्या ध्यानात येईल की १८ - ८१, २७-७२, ३६-६३, ४५-५४ अशा आकड्यांची बेरीज ९ असलेल्या संख्यांच्या जोड्या आहेत. आणि त्यातील फरक अनुक्रमे ६३, ४५, २७ आणि ९ इतका आहे.  

३) अजय आणि विजय ह्यांच्या वयाचे गुणोत्तर सध्या ७:५ असे आहे. १० वर्षांनंतर हेच गुणोत्तर ९:७ इतके होईल तर त्यांची सध्याची वये किती?

इथं तक्ता आखा 




सध्या 
१० वर्षांनंतर
अजयचे वय 
7x
7x + 10
विजयचे वय
5x
5x + 10
गुणोत्तर 
7:5
9:7

ह्या उदाहरणात महत्त्वाचं तत्त्व 
१० वर्षांनंतर मिळणाऱ्या गुणोत्तराच्या दोन पदांना वापरुन समीकरण बनवा 

(7x+10) / (5x+10) = 9/7

(7x+10)* 7 = 9 *(5x+10)

49x+ 70 = 45x + 90
4x = 20
x = 5



सध्या 
१० वर्षांनंतर
अजयचे वय 
35
45
विजयचे वय
25
35
गुणोत्तर 
7:5
9:7



४) आनंदकडे २००० रुपये १० आणि ५ रुपयांच्या नाण्यांच्या स्वरुपात आहेत. १० रुपयांच्या नाण्यांची संख्या ५ रुपयाच्या नाण्यांपेक्षा ५० ने जास्त असल्यास आनंदकडे ५ रुपयाची किती नाणी आहेत? 

इथं नाण्यांची संख्या आणि किंमत ह्यांचा तक्ता आखणे महत्वाचं ठरतं. 




नाण्यांची संख्या
नाण्यांची किमंत 
१० रुपये 
X + 50
10 x + 500
रुपये 
x
5 x
2000

इथं  नाण्यांच्या किमतीची जी दोन पदे मिळतात ती वापरुन समीकरण बनवावे 

10x + 500 + 5x = 2000
15 x = 1500
x = 100

म्हणुन ५ रुपयांची १०० नाणी (५०० रुपये) आणि १० रुपयांची १५० नाणी (१५०० रुपये). 

५) एका स्पर्धात्मक परीक्षेत एकूण २०० प्रश्न आहेत. परीक्षार्थीला प्रत्येक अचुक उत्तरास ४ गुण मिळतात आणि प्रत्येक चुकीच्या / न दिलेल्या उत्तरामागे त्याचा एक गुण वजा होतो.  नंदनला एकंदरीत ५५० गुण मिळाले. तर त्यानं अचुक उत्तर दिलेल्या प्रश्नांची संख्या किती? 

इथं खालील तक्ता आखा 


संख्या 
गुण 
बरोबर उत्तरं 
X
4x
चूक / दिलेली उत्तरं 
200 –x
-1*(200-x)
550


एकुण गुणांची जी दोन पदे मिळतात त्यांच्या मदतीनं एक समीकरण बनवा 

4x - 200 + x = 550

5x = 750

x = 150

अचूक उत्तरं = १५० (गुण  ६००)
चूक / न दिलेली उत्तरं  = २०० - x = ५० (वजा झालेले गुण ५० )
अंतिम गुण  = ६०० - ५० = ५५० 

सारांश  - प्रत्येक प्रकारात एक महत्त्वाचं तत्त्व आहे. ते ओळखुन एकदा का तुम्हांला समीकरण मांडता आलं की उत्तराकडं तुमची आगेकुच सुरु झाली म्हणुन समजा . 

No comments:

Post a Comment

नवं - जुनं

जे काही झालं ते नक्कीच भारतीय माहिती आणि तंत्रज्ञान क्षेत्राच्या दृष्टीनं स्पृहणीय नाही. मुर्ती आणि सिक्का दोघंही कामगिरीच्या दृष्टीनं ह...