गेल्या ऑगस्टमध्ये आपण एकचल रेषीय समीकरणांचा आढावा घेतला
होता. आज आपण द्विचल रेषीय समीकरणांकडे वळूयात. द्विचल रेषीय
समीकरणांचा आजचा हा पहिला भाग !
द्विचल रेषीय समीकरणांची व्याख्या
जी समीकरणे ax+by+c = 0 ह्या स्वरुपात मांडता येतात त्यांना
द्विचल रेषीय समीकरणे असे म्हणता येईल. ह्यात a, b आणि c हे
constants आणि x, y हे चल अर्थात variable आहेत.
भुमितीच्या दृष्टिकोनातून पाहिलं असता द्विचल रेषीय समीकरणे
एका रेषेचे प्रतिनिधित्व करतात. ह्यामध्ये विविध शक्यता उद्भवतात
१> ax+by+c = 0; Both a and b are non-zero
ह्या उदाहरणात ह्या समीकरणाचे प्रतिनिधित्व करणारी रेषा वरील
प्रतिमेप्रमाणे दिसते.
२> ax+by+c = 0; a = zero and b is non-zero
थोडक्यात by+c = 0. म्हणजेच हे समीकरण एकचल समीकरण
बनतं आणि ही रेषा क्ष (x) अक्षाला समांतर असते. ह्या रेषेवरील
प्रत्येक बिंदु क्ष (x) अक्षापासुन -c/b इतक्या अंतरावर असतो.
३> ax+by+c = 0; b = zero and a is non-zero
थोडक्यात ax+c = 0. म्हणजेच हे समीकरण एकचल समीकरण
बनतं आणि ही रेषा य (y ) अक्षाला समांतर असते. ह्या रेषेवरील
प्रत्येक बिंदु य (y ) अक्षापासुन -c/a इतक्या अंतरावर असतो.
द्विचल रेषीय समीकरणांची गणिते देतांना तुम्हांला ह्या प्रकारातील
समीकरणाच्या दोन जोड्या दिल्या जातात. आणि ह्या दोन्ही
समीकरणांचे समाधान करु शकणाऱ्या x आणि y च्या किंमती
काढण्यास सांगितलं जातं.
द्विचल रेषीय समीकरणांच्या दोन जोड्या सोडविण्याच्या विविध
पद्धती आहेत.
१) आलेख पद्धती
ह्या मध्ये दोन्ही समीकरणांचे प्रतिनिधित्व करणाऱ्या रेषा आलेखावर
काढुन त्या एकमेकांना ज्या बिंदूमध्ये छेदतात त्या बिंदूचे क्ष आणि
य co-ordinate हे ह्या दोन समीकरणांचे उत्तर बनतं.
२) बीजगणितीय पद्धती
अ ) Substitution Method
ह्या पद्धतीत पहिल्या समीकरणात क्ष ला य च्या स्वरूपात मांडलं
जातं. क्ष ची मिळालेली ही किंमत दुसऱ्या समीकरणात
वापरली जाते. त्यामुळं दुसरे समीकरण केवळ य च्या स्वरुपात
राहिल्यानं ते सोडवणं शक्य होतं.
ब ) Elimination Method
ह्या दोन्ही समीकरणातील क्ष किंवा य चा लसावि काढुन त्यांचे
coefficients समान केले जातात. त्यानंतर ह्या दोन्ही
समीकरणाच्या मिळालेल्या नवीन रुपांची वजाबाकी करुन
समीकरणांची उकल केली जाते.
क) Cross Multiplication Method
a1x+b1y+c1 = 0
a2x+b2y+c2 = 0
ह्या स्वरूपात लिहलेली दोन समीकरणे ज्यावेळी Elimination
Method ने सोडवली जातात त्यावेळी x आणि y ह्यांची उत्तरे
खालील स्वरुपात मिळतात
ह्याहुन अधिक क्लिष्ट प्रकारची गणिते आहेत ज्यांना सोप्या
स्वरुपात आणुन वरीलपैकी एका पद्धतीनं सोडवावं लागतं.
पुढील भागात आपण वरील चार पद्धतींची काही उदाहरणं
पाहुयात.
(क्रमशः )
जी समीकरणे ax+by+c = 0 ह्या स्वरुपात मांडता येतात त्यांना
द्विचल रेषीय समीकरणे असे म्हणता येईल. ह्यात a, b आणि c हे
constants आणि x, y हे चल अर्थात variable आहेत.
भुमितीच्या दृष्टिकोनातून पाहिलं असता द्विचल रेषीय समीकरणे
एका रेषेचे प्रतिनिधित्व करतात. ह्यामध्ये विविध शक्यता उद्भवतात
१> ax+by+c = 0; Both a and b are non-zero
ह्या उदाहरणात ह्या समीकरणाचे प्रतिनिधित्व करणारी रेषा वरील
प्रतिमेप्रमाणे दिसते.
२> ax+by+c = 0; a = zero and b is non-zero
थोडक्यात by+c = 0. म्हणजेच हे समीकरण एकचल समीकरण
बनतं आणि ही रेषा क्ष (x) अक्षाला समांतर असते. ह्या रेषेवरील
प्रत्येक बिंदु क्ष (x) अक्षापासुन -c/b इतक्या अंतरावर असतो.
३> ax+by+c = 0; b = zero and a is non-zero
थोडक्यात ax+c = 0. म्हणजेच हे समीकरण एकचल समीकरण
बनतं आणि ही रेषा य (y ) अक्षाला समांतर असते. ह्या रेषेवरील
प्रत्येक बिंदु य (y ) अक्षापासुन -c/a इतक्या अंतरावर असतो.
द्विचल रेषीय समीकरणांची गणिते देतांना तुम्हांला ह्या प्रकारातील
समीकरणाच्या दोन जोड्या दिल्या जातात. आणि ह्या दोन्ही
समीकरणांचे समाधान करु शकणाऱ्या x आणि y च्या किंमती
काढण्यास सांगितलं जातं.
द्विचल रेषीय समीकरणांच्या दोन जोड्या सोडविण्याच्या विविध
पद्धती आहेत.
ह्या मध्ये दोन्ही समीकरणांचे प्रतिनिधित्व करणाऱ्या रेषा आलेखावर
काढुन त्या एकमेकांना ज्या बिंदूमध्ये छेदतात त्या बिंदूचे क्ष आणि
य co-ordinate हे ह्या दोन समीकरणांचे उत्तर बनतं.
२) बीजगणितीय पद्धती
ह्या पद्धतीत पहिल्या समीकरणात क्ष ला य च्या स्वरूपात मांडलं
जातं. क्ष ची मिळालेली ही किंमत दुसऱ्या समीकरणात
वापरली जाते. त्यामुळं दुसरे समीकरण केवळ य च्या स्वरुपात
राहिल्यानं ते सोडवणं शक्य होतं.
ह्या दोन्ही समीकरणातील क्ष किंवा य चा लसावि काढुन त्यांचे
coefficients समान केले जातात. त्यानंतर ह्या दोन्ही
समीकरणाच्या मिळालेल्या नवीन रुपांची वजाबाकी करुन
समीकरणांची उकल केली जाते.
a1x+b1y+c1 = 0
a2x+b2y+c2 = 0
ह्या स्वरूपात लिहलेली दोन समीकरणे ज्यावेळी Elimination
Method ने सोडवली जातात त्यावेळी x आणि y ह्यांची उत्तरे
खालील स्वरुपात मिळतात
ह्याहुन अधिक क्लिष्ट प्रकारची गणिते आहेत ज्यांना सोप्या
स्वरुपात आणुन वरीलपैकी एका पद्धतीनं सोडवावं लागतं.
पुढील भागात आपण वरील चार पद्धतींची काही उदाहरणं
पाहुयात.
(क्रमशः )
स्वरुपात आणुन वरीलपैकी एका पद्धतीनं सोडवावं लागतं.
पुढील भागात आपण वरील चार पद्धतींची काही उदाहरणं
पाहुयात.
(क्रमशः )
कोणत्याही टिप्पण्‍या नाहीत:
टिप्पणी पोस्ट करा